Question

已知函數(shù)：，
（1）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)a＜1時(shí)，若存在，使得對(duì)任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′（x），得其極值點(diǎn)，按照極值點(diǎn)a在[1，e]的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論，可得其最小值；
（2）存在，使得對(duì)任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，即 f（x）_min＜g（x）_min，由（1）知f（x）在[e，e²]上遞增，可得f（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）在[-2，0]上的單調(diào)性，可得g（x）_min，由 f（x）_min＜g（x）_min，可求得a的范圍；
解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，
當(dāng)a≤1時(shí)，x∈[1，e]，f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)，
所以f（x）_min=f（1）=1-a；
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）為減函數(shù)，x∈[a，e]，f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)，
所以f（x）_min=f（a）=a-（a+1）lna-1；
當(dāng)a≥e時(shí)，x∈[1，e]，f′（x）≤0，f（x）為減函數(shù)，
所以；
綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）_min=1-a；當(dāng)1＜a＜e時(shí)，f（x）_min=a-（a+1）lna-1；當(dāng)a≥e時(shí)，；
（2）存在，使得對(duì)任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，即 f（x）_min＜g（x）_min，
當(dāng)a＜1時(shí)，由（1）可知，x∈[e，e²]，f（x）為增函數(shù)，
∴，
g′（x）=x+e^x-xe^x-e^x=x（1-e^x），
當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)g′（x）≤0，g（x）為減函數(shù)，g（x）_min=g（0）=1，
∴，，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值加以解決．