Question

8．已知雙曲線M：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的上焦點為F，上頂點為A，B為虛軸的端點，離心率e=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，且S_△ABF=1-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．拋物線N的頂點在坐標原點，焦點為F．
（1）求雙曲線M和拋物線N的方程；
（2）設動直線l與拋物線N相切于點P，與拋物線的準線相交于點Q，則以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點？如果經過，試求出該點的坐標，如果不經過，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據雙曲線的離心率公式及三角形的面積公式，即可求得a和b的值，即可求得雙曲線的方程，求得焦點坐標，即可求得p的值，求得拋物線N的方程；
（2）利用導數求得切線方程，聯立y=-2，即可求得Q點坐標，根據向量數量積的坐標，由$\frac{2-m}{8}$x₀²+m（m+2）-8=0，對任意實數x₀（x₀≠0）恒成立，即可求得m的值，即可求得以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點．

解答 解：（1）由雙曲線M：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，①
三角形的面積S=$\frac{1}{2}$（c-a）b=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，②
由c²=a²+b²，③
解得：a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
∴雙曲線的標準方程：$\frac{{y}^{2}}{3}-{x}^{2}=1$，則雙曲線的上焦點F（0，2），
則拋物線N的方程：x²=8y；
（2）由（1）可得拋物線N的方程：x²=8y，準線方程y=-2，
由y=$\frac{1}{8}$x²，y′=$\frac{1}{4}$x，設P（x₀，$\frac{1}{8}$x₀²），則直線l的方程y-$\frac{1}{8}$x₀²=$\frac{1}{4}$x₀（x-x₀），
即y=$\frac{1}{4}$x₀x-$\frac{1}{8}$x₀²，聯立y=-2，則Q（$\frac{{x}_{0}^{2}-16}{2{x}_{0}}$，-2），
假設存在定點M（0，m）滿足假設條件，則$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，對任意點恒成立，
則$\overrightarrow{MP}$=（x₀，$\frac{1}{8}$x₀²-m），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{{x}_{0}^{2}-16}{2{x}_{0}}$，-2-m），
∴$\frac{{x}_{0}^{2}-16}{2}$-（m+2）（$\frac{1}{8}$x₀²-m）=0，即$\frac{2-m}{8}$x₀²+m（m+2）-8=0，對任意實數x₀（x₀≠0）恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}{2-m=0}\\{m（m+2）-8=0}\end{array}\right.$，解得：m=2，
∴以PQ為直徑的圓經過y軸上的定點M（0，2）．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，考查拋物線的性質，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．