已知集合A={(x,y)|ax+y=1,x,y∈R},B={(x,y)|x+ay=1,x,y∈R},C={(x,y)|x2+y2=1,x,y∈R}
(1)若(A∪B)∩C為兩個(gè)元素的集合,求實(shí)數(shù)a;
(2)(A∪B)∩C為含三個(gè)元素的集合,求實(shí)數(shù)a

解:(1)(A∪B)∩C含兩個(gè)元素
①直線ax+y=1和x+ay=1與圓x2+y2=1各有一個(gè)交點(diǎn)且不重合,則滿足條件,此時(shí)a=0,如圖(1)所示
②直線ax+y=1和x+ay=1重合,且與圓x2+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則滿足條件,此時(shí)a=1,如圖(2)所示
綜上,a=0或a=1時(shí),(A∪B)∩C為含兩個(gè)元素的集合
(2)(A∪B)∩C含三個(gè)元素
顯然a≠0,a≠1.
直線ax+y=1和x+ay=1與圓x2+y2=1必須交于三個(gè)點(diǎn),即兩直線有一個(gè)交點(diǎn)在圓x2+y2=1上,且兩直線與圓還各有一個(gè)交點(diǎn)
∵直線ax+y=1和x+ay=1關(guān)于直線y=x對稱
∴三個(gè)交點(diǎn)為(0,1),(1,0),()或(0,1),(1,0),(-,-
如圖(3)(4)所示
此時(shí)a=-1±
分析:(1)作出集合A,B的圖象,利用(A∪B)∩C為兩個(gè)元素的集合,說明①直線ax+y=1和x+ay=1與圓x2+y2=1各有一個(gè)交點(diǎn)且不重合,②直線ax+y=1和x+ay=1重合,且與圓x2+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a即可;
(2)(A∪B)∩C為含三個(gè)元素的集合,a≠0,a≠1.直線ax+y=1和x+ay=1與圓x2+y2=1必須交于三個(gè)點(diǎn),即兩直線有一個(gè)交點(diǎn)在圓x2+y2=1上,且兩直線與圓還各有一個(gè)交點(diǎn),利用對稱性求出實(shí)數(shù)a即可.
點(diǎn)評:本題考查子集、并集、交集的轉(zhuǎn)換,考查數(shù)形結(jié)合,分類討論的思想,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,作出圖形,是解好本題的前提,是中檔題.
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