Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+c
（1）若f（x）=f（-2-x），f（0）=-4．求f（x）在[3，+∞）上的最小值：
（2）若對于任意x∈[1，1+a]，f（x）＞$\frac{9}{4}$x-a²+c恒成立．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=f（-2-x），f（0）=-4，可得x=-1為對稱軸，可得a和c的值，即得f（x）=x²+2x-4，對稱軸為x=-1，所以函數(shù)f（x）在[3，+∞）單調(diào)遞增，即可得f（x）的最小值．
（2）對于任意x∈[1，1+a]，f（x）＞$\frac{9}{4}$x-a²+c恒成立，即為x²+（2a-$\frac{9}{4}$）x+a²＞0在[1，1+a]恒成立，可令g（x）=x²+（2a-$\frac{9}{4}$）x+a²，對稱軸為x=$\frac{9}{8}$-a，即求g（x）_min＞0，根據(jù)對稱軸為x=$\frac{9}{8}$-a，與[1，a+1]的位置關(guān)系，分類討論求出g（x）_min，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=f（-2-x），f（0）=-4，
可得f（x）關(guān)于直線x=-1對稱，且c=-4，
由函數(shù)f（x）=x²+2ax+c的對稱軸為x=-a，
可得a=1，即f（x）=x²+2x-4，
f（x）在[3，+∞）上遞增，
可得f（3）取得最小值，且為11；
（2）對于任意x∈[1，1+a]，f（x）＞$\frac{9}{4}$x-a²+c恒成立，
即為x²+（2a-$\frac{9}{4}$）x+a²＞0在[1，1+a]恒成立，
可令g（x）=x²+（2a-$\frac{9}{4}$）x+a²，對稱軸為x=$\frac{9}{8}$-a，
即求g（x）_min＞0，
①當(dāng)1+a≤$\frac{9}{8}$-a，即a≤$\frac{1}{16}$時，對稱軸在[1，a+1]的右側(cè)，
∴g（x）在[1，a+1]上單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1+a）=（1+a）x²+（2a-$\frac{9}{4}$）（1+a）+a²＞0，
解得，a＞$\frac{-7+3\sqrt{41}}{32}$（a＜$\frac{-7-3\sqrt{41}}{32}$舍去），
∴a∈∅．
②當(dāng)1＜$\frac{9}{8}$-a＜a+1，即$\frac{1}{16}$＜a＜$\frac{1}{8}$時，對稱軸在[1，a+1]的中間，
∴g（x）_min=g（$\frac{9}{8}$-a）=$\frac{4{a}^{2}-（2a-\frac{9}{4}）^{2}}{4}$＞0，
解得a＞$\frac{9}{16}$，
∴a∈∅．
③當(dāng)1≥$\frac{9}{8}$-a，即a≥$\frac{1}{8}$時，對稱軸在[1，a+1]的左側(cè)，
∴g（x）在[1，a+1]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（1）=1+（2a-$\frac{9}{4}$）+a²＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$或（a＜-$\frac{5}{2}$舍去），
∴a＞$\frac{1}{2}$．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了二次函數(shù)最值的求解，二次函數(shù)的最值要考慮開口方向和對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決此類問題．屬于中檔題．