已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為e＝，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若P與A，B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1，k2，證明：k1·k2為定值；

(Ⅲ)M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，若＝λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由題意可得圓的方程為，

　　∵直線與圓相切，∴，即，又，即，，解得，，

　　所以橢圓方程為；3分

　　(Ⅱ)設(shè)，，，則，即，則，，

　　即，

　　∴為定值．6分

　　(Ⅲ)設(shè)，其中．

　　由已知及點(diǎn)在橢圓上可得，

　　整理得，其中．8分

　　①當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，

　　所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；9分

　�、诋�(dāng)時(shí)，方程變形為，其中，

　　當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分；11分

　　當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；12分

　　當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓．13分


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年泉州一中適應(yīng)性練習(xí)文）（12分）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。

（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率KON ；

（2）對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（09年湖北重點(diǎn)中學(xué)4月月考理）（13分

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的

（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率KON ；

1）           （2）對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。

（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率KON ；

（2）對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。

（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率KON ；

（2）對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖北省武漢市高三9月調(diào)研測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由．

 

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