Question

18．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為雙曲線上一點(diǎn)且∠F₁PF₂=60°，則${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=（　�。�

• A． $16\sqrt{3}$
• B． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$
• C． $9\sqrt{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由雙曲線方程求得a，c的值，由余弦定理結(jié)合雙曲線的定義求得|PF₁||PF₂|的值，則三角形面積可求．

解答 解：由雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1，得a=3，2a=6，
b²=16，c²=a²+b²=25，c=5．
不妨設(shè)P在雙曲線右支上，則|PF₁|-|PF₂|=6，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得：$4{c}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|•cos60°$，
則$100=（|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|）^{2}+|P{F}_{1}||P{F}_{2}|$，即100=36+|PF₁||PF₂|，
得|PF₁||PF₂|=64．
∴${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|•sin60°=\frac{1}{2}×64×\frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了余弦定理及雙曲線定義的應(yīng)用，是中檔題．