Question

如圖，CB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，AP與CB的延長線交于點(diǎn)P，A為切點(diǎn)，若PA=10，PB=5，∠BAC的平分線AE與BC和⊙O分別交于點(diǎn)D、E，則AD•AE的值為

90

．

Answer 1

分析：先由∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進(jìn)而求出

AB

AC

=

PA

PC

，再由切割線定理得到PA²=PB•PC；結(jié)合前面求出的結(jié)論以及勾股定理求出AC=6

5

，AB=3

5

；再結(jié)合條件得到△ACE∽△ADB，進(jìn)而求出結(jié)果．

解答：解：解：連接CE，∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴

AB

AC

=

PA

PC

．…（3分）
∵PA為⊙O的切線，PBC是過點(diǎn)O的割線，
∴PA²=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB=90°．
∴AC²+AB²=BC²=225，
∴AC=6

5

，AB=3

5

，…（7分）
連接CE，則∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，…（9分）
∴AD•AE=AB•AC=3

5

×6

5

=90．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的判定及切線性質(zhì)的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．