Question

（2012•江蘇一模）設數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)．若對任意的n∈N₊，存在k∈N₊，使得

a

2 n+k

=a_n•a_n+2k成立，則稱數(shù)列為“J_k型”數(shù)列．
（1）若數(shù)列{a_n}是“J₂”型數(shù)列，且a₂=8，a₈=1，求a_2n；
（2）若數(shù)列{a_n}既是“J₃”型數(shù)列，又是“J₄”型數(shù)列，證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}是“J₂”型數(shù)列，可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別組成等比數(shù)列，根據(jù)a₂=8，a₈=1，求出數(shù)列的公比，即可得到通項；
（2）由題設知，當n≥8時，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等比數(shù)列；a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等比數(shù)列，可得

an+2

an

=

an

an-2

，進而可得

an+1

an

=

an

an-1

，

an+1

an

=q對任意n≥2都成立，由此可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是“J₂”型數(shù)列，
∴

a

2 n+2

=a_n•a_n+4
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別組成等比數(shù)列
設偶數(shù)項組成的等比數(shù)列的公比為q，
∵a₂=8，a₈=1，∴q3=

1

8

，∴q=

1

2

∴a_2n=8×(

1

2

)n-1=2^4-n；
（2）由題設知，當n≥8時，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等比數(shù)列；a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等比數(shù)列．
從而當n≥8時，a_n²=a_n-3a_n+3=a_n-6a_n+6，（*）且a_n-6a_n+6=a_n-2a_n+2．
所以當n≥8時，a_n²=a_n-2a_n+2，即

an+2

an

=

an

an-2

于是當n≥9時，a_n-3，a_n-1，a_n+1，a_n+3成等比數(shù)列，從而a_n-3a_n+3=a_n-1a_n+1，故由（*）式知a_n²=a_n-1a_n+1，
即

an+1

an

=

an

an-1

．
當n≥9時，設q=

an

an-1

，當2≤m≤9時，m+6≥8，從而由（*）式知a_m+6²=a_ma_m+12，
故a_m+7²=a_m+1a_m+13，從而

am+72

am+62

=

am+1am+13

amam+12

，
于是

am+1

am

=

q2

q

=q．
因此

an+1

an

=q對任意n≥2都成立．
因為a42=a1a7，所以q2•

a2

a1

=

a4

a3

•

a3

a2

•

a2

a1

=

a4

a1

=

a7

a4

=

a7

a6

•

a6

a5

•

a5

a4

=q3，
于是

a2

a1

=q．
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．

點評：本題考查新定義，考查等比數(shù)列的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．