Question

過雙曲線的左焦點(diǎn)F（-c，0）作圓x²+y²=a²的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交拋物線y²=4cx于點(diǎn)P，若E為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為________．

Answer 1

分析：先設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，則F'的坐標(biāo)為（c，0）因?yàn)閽佄锞�為y²=4cx，所以F'為拋物線的焦點(diǎn) O為FF'的中點(diǎn)，E為FP的中點(diǎn)所以O(shè)E為△PFF'的中位線，得到PF=2b，再設(shè)P（x，y） 過點(diǎn)F作x軸的垂線，由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．
解答：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，則F'的坐標(biāo)為（c，0）
因?yàn)閽佄锞�為y²=4cx，
所以F'為拋物線的焦點(diǎn) O為FF'的中點(diǎn)，
E為FP的中點(diǎn)所以O(shè)E為△PFF'的中位線，
那么OE∥PF'
因?yàn)镺E=a 那么PF'=2a
又PF'⊥PF，F(xiàn)F'=2c 所以PF=2b
設(shè)P（x，y） x+c=2a x=2a-c
過點(diǎn)F作x軸的垂線，
點(diǎn)P到該垂線的距離為2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²
4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e=．
故答案為：．
點(diǎn)評：本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．