Question

求函數(shù)f（x）=

1

2

x+sinx，x∈[0，2π]的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f′(x)=

1

2

+cosx，x∈[0，2π]．令f′（x）=0，解得x=

2π

3

或

4π

3

．分別令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，即可得出函數(shù)的單調(diào)性，求出極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，經(jīng)過比較即可得出最值．

解答： 解：f′(x)=

1

2

+cosx，x∈[0，2π]．
令f′（x）=0，解得x=

2π

3

或

4π

3

．
令f′（x）＞0，解得0≤x＜

2π

3

或

4π

3

＜x≤2π，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得

2π

3

＜x＜

4π

3

，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
計算可得：f（0）=0，f(

2π

3

)=

π

3

+

3

2

，f(

4π

3

)=

2π

3

-

3

2

，f（2π）=π．
因此最大值為π，最小值為0．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．