Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax，（a＞0且a≠1）．
（1）若g（x）=f（|x|），當(dāng)a＞1時，解不等式g（1）＜g（lgx）；
（2）若函數(shù)h（x）=|f（x-a）|-1，討論h（x）在區(qū)間[2，4]上的最小值．

Answer 1

解：（1）g（x）=log_a|x|是偶函數(shù)
當(dāng)x＞0時，是增函數(shù)，當(dāng)x＜0時，g（x）=log_a（-x）（a＞1）是減函數(shù)，
∵g（1）＜g（lgx），∴g（1）＜g（|lgx|），
∴1＜|lgx|，
∴l(xiāng)gx＜-1或lgx＞1
∴0＜x＜0.1或x＞10；
∴不等式的解集為：{x|0＜x＜0.1或x＞10}
（2）h（x）=|f（x-a）|-1=|log_a（x-a）|-1
∵x-a＞0，x∈[2，4]，∴0＜a＜4且a≠1
若x=a+1時，log_a（x-a）=0
①當(dāng)2＜a+1≤4，則1＜a≤3，∴x=a+1時，h（x）_min=h（a+1）=-1．
②當(dāng)a+1＜2，則0＜a＜1，在x∈[2，4]時，h（x）為增函數(shù)，
∴x=2時，h（x）_min=h（2）=-log_a（2-a）-1．
③當(dāng)a+1＞4，則3＜a＜4，在x∈[2，4]時，h（x）為減函數(shù)．
∴x=4時，h（x）_min=h（4）=-log_a（4-a）-1．
∴h（x）_min=．
分析：（1）g（x）=log_a|x|是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，是增函數(shù)，當(dāng)x＜0時，g（x）=log_a（-x）（a＞1）是減函數(shù)，不等式g（1）＜g（lgx），等價于g（1）＜g（|lgx|），利用單調(diào)性，即可求得不等式的解集；
（2）h（x）=|f（x-a）|-1=|log_a（x-a）|-1，根據(jù)x-a＞0，x∈[2，4]，可得0＜a＜4且a≠1，由于x=a+1時，log_a（x-a）=0，故需要分類討論，從而確定h（x）在區(qū)間[2，4]上的最小值．
點評：本題是函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查解不等式，考查利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．