Question

（2012•廣東）設(shè)a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用區(qū)間表示）；
（2）求函數(shù)f（x）=2x³-3（1+a）x²+6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程2x²-3（1+a）x+6a=0的判別式討論a的范圍，求出相應(yīng)D即可；
（2）由f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根據(jù)（1）中討論的a的取值范圍分別求出函數(shù)極值即可．

解答：解：（1）記h（x）=2x²-3（1+a）x+6a（a＜1）
△=9（1+a）²-48a=（3a-1）（3a-9）
當(dāng)△＜0，即

1

3

＜a＜1，D=（0，+∞）
當(dāng)0＜a≤

1

3

，D=(0，

3+3a- 9a2-30a+9

4

)∪(

3+3a+ 9a2-30a+9

4

，+∞)
當(dāng)a≤0，D=(

3+3a+ 9a2-30a+9

4

，+∞)
（2）由f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=0得x=1，a
①當(dāng)

1

3

＜a＜1，f（x）在D內(nèi)有一個(gè)極大值點(diǎn)a，有一個(gè)極小值點(diǎn)
②當(dāng)0＜a≤

1

3

，∵h(yuǎn)（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0
h（a）=2a²-3（1+a）a+6a=3a-a²＞0
∴1∉D，a∈D
∴f（x）在D內(nèi)有一個(gè)極大值點(diǎn)a
③當(dāng)a≤0，則a∉D
又∵h(yuǎn)（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1＜0
∴f（x）在D內(nèi)有無極值點(diǎn)

點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時(shí)考查了計(jì)算能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．