Question

已知離心率為的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)F₁、F₂在軸上，雙曲線C的右支上一點(diǎn)A使且的面積為1。(12分)

求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

若直線與雙曲線C相交于E、F兩點(diǎn)（E、F不是左右頂點(diǎn)），且以EF為直徑的圓過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)D。求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

（1）由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得：解得………………………………………2分

∵且的面積為1

∴,

∴

∴………………………………………4分

∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為�！�……………………………………5分

（2）設(shè)，聯(lián)立得

顯然否則直線與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)。

即

則……………………………8分

又

∵以EF為直徑的圓過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)D(2,0)

∴即

∴

∴

化簡(jiǎn)整理得

∴ ，且均滿(mǎn)足

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾！

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)（，0）

∴直線定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）。……………………………12分