Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA=a，AB=AC=2a，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：由題中數(shù)量關(guān)系知，取底面△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)M、N，得棱長(zhǎng)為a的正四面體P-AMN，求出它的體積，
三棱錐P-ABC的體積=4×三棱錐P-AMN的體積，從而求出體積．

解答：解：如圖，取AB、AC的中點(diǎn)M、N，連接PM，PN，MN，
則PA=AM=AN=a，由∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，
得：PM=PN=MN=a，∴三棱錐P-AMN是棱長(zhǎng)為a的正四面體，它的體積為，
V_P-AMN=

1

3

•S_△AMN•h=

1

3

×

1

2

×a²×sin60°×

a2 -( 2 3 ×  3 2 a)2

=

2

12

a³；
三棱錐P-ABC的體積為，V_P-ABC=

1

3

•S_△ABC•h=

1

3

×4•S_△AMN•h=4V_P-AMN=

2

3

a3．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)轉(zhuǎn)化為正四面體，由正四面體的體積，求得錐體的體積，是一種很好的求體積的方法．