Question

已知函數(shù)f（x）=-

2x

2x+1

．
（1）用定義證明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；
（2）若x∈[1，2]，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）若g（x）=

a

2

+f(x)，且當(dāng)x∈[1，2]時(shí)g（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，先在所給區(qū)間上任設(shè)兩個(gè)數(shù)并確定好大小，然后通過作差法即可獲得自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，由定義即可獲得問題的解答；
（2）結(jié)合（1）所證明的結(jié)論即可獲得函數(shù)在[1，2]上的單調(diào)性，從而可以求的函數(shù)在[1，2]上的最值，進(jìn)而問題即可獲得解答；
（3）充分利用前兩問答結(jié)論，即可獲得g（x）=

a

2

+f(x)在[1，2]上的最值，結(jié)合恒成立的條件即可將問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)a的不等關(guān)系，求解即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0
又2^x₁+1＞0，2^x2+1＞0，
f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
（2）∵f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（x）值域?yàn)?span id="hnmrub8" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

4

5

，-

2

3

]．
（3）當(dāng)x∈[{1，2}]時(shí)，g（x）∈[

a

2

-

4

5

，

a

2

-

2

3

]
∵g（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
∴

a

2

-

4

5

≥0，∴a≥

8

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)單調(diào)性的問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法、函數(shù)的最值以及恒成立問題．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．