Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）已知函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線為l，若此切線在點(diǎn)A處穿過y=f（x）的圖象（即函數(shù)f（x）上的動點(diǎn)P在點(diǎn)A附近沿曲線y=f（x）運(yùn)動，經(jīng)過點(diǎn)A時從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）若a＞0，函數(shù)g（x）=f（x）-ax有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）若a=2，則f（x）=x²-2lnx，從而求導(dǎo)f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=2$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，從而確定函數(shù)的單調(diào)性與極值；
（2）二次求導(dǎo)f″（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$；從而可得f″（1）=2+a=0，從而解得；
（3）化簡可得方程$\frac{1}{a}$=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$有且只有一個解，再令h（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$，求導(dǎo)h′（x）=$\frac{（\frac{1}{x}+1）{x}^{2}-2x（lnx+x）}{{x}^{4}}$=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{3}}$；從而確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而解得．

解答 解：（1）若a=2，則f（x）=x²-2lnx，
f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=2$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
故f（x）在x=1處有極小值f（1）=1-0=1；
（2）∵f（x）=x²-alnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，f″（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$；
∵切線在點(diǎn)A處穿過y=f（x）的圖象，
∴f″（1）=2+a=0，
故a=-2；
故f（x）=x²+2lnx；
（3）函數(shù)g（x）=f（x）-ax=x²-alnx-ax，
∵函數(shù)g（x）=f（x）-ax有且只有一個零點(diǎn)，
∴方程x²-alnx-ax=0有且只有一個解，
∴方程$\frac{1}{a}$=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$有且只有一個解，
令h（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$，則h′（x）=$\frac{（\frac{1}{x}+1）{x}^{2}-2x（lnx+x）}{{x}^{4}}$=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{3}}$；
故h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$=-∞，h（1）=$\frac{0+1}{1}$=1，$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$=0；
故$\frac{1}{a}$=1；
故a=1．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用．