Question

9．設(shè)曲線C：f（x）=x³-ax+b（a，b∈R）．
（1）若函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{a}{6}$[f′（x）+a]-2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍（f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)）
（2）若過曲線C外的點(diǎn)A（1，0）作曲線C的切線恰有三條，求a，b滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x）=x³-ax+b（a，b∈R），我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），進(jìn)而給出函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{a}{6}$[f′（x）+a]-2x的解析式，若函數(shù)g（x）存調(diào)遞減區(qū)間，則g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2＜0在（0，+∞）上有解，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$，求出其最小值，即可得到答案．
（2）由（1）中導(dǎo)函數(shù)f′（x）的解析式，我們?cè)O(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，則可以得到直線的切線方程，由于切線過A點(diǎn)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得到關(guān)于參數(shù)的方程，又由已知中過點(diǎn)A（1，0）的曲線C的切線恰有三條，則對(duì)應(yīng)方程恰有三個(gè)不同的根，構(gòu)造函數(shù)后，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的圖象性質(zhì)，判斷出函數(shù)的極小值小于0，極大值大于0，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程組，解方程組，即可得到答案．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²-a，
∴g（x）=lnx-$\frac{a}{6}$[f′（x）+a]-2x=lnx-$\frac{a}{2}$x²-2x（x＞0）
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2
若使g（x） 存在單調(diào)減區(qū)間，
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2＜0在（0，+∞）上有解，
即a＞$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上有解，
設(shè)h（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，
則h（x）的最小值為-1，
若a＞$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上有解，
則a＞-1；
（2）∵f′（x）=3x²-a，
過點(diǎn)A（1，0）作曲線C的切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（c，f（c））
則切線方程為 y-（c³-ac+b）=（3c²-a）（x-a）
即y=（3c²-a）x-2c³+b
又∵切線過A（1，0）點(diǎn)
則（3c²-a）-2c³+b=0
即-2c³+3c²-a+b=0
又由過點(diǎn)A（1，0）的曲線C的切線恰有三條，
∴方程-2c³+3c²-a+b=0恰好有三個(gè)根，
令h（c）=-2c³+3c²-a+b
則h′（c）=-6c²+6c
則函數(shù)h（c）=-2c³+3c²-a+b在c=0時(shí)取極小值，在c=1時(shí)取極大值，
若方程-2c³+3c²-a+b=0恰好有三個(gè)根，
則h（0）=-a+b＜0，h（1）=1-a+b＞0
即a，b滿足的關(guān)系式為0＜a-b＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用民數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．