Question

求滿足下列條件的曲線方程：
（1）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1有公共漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，2

3

）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）焦點(diǎn)在直線x+3y+15=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

（1）依題意，可設(shè)橢圓的方程為

x2

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0），則
∴橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)，
∴

12

m

+

1

n

=1且

3

m

+

4

n

=1
∴m=15，n=5
∴經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

15

+

y2

5

=1；
（2）設(shè)所求雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=λ（λ≠0），
將點(diǎn)（-3，2

3

）代入得λ=

1

4

，
所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

4x2

9

-

y2

4

=1；
（3）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15；
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（-15，0），（0，-5）
當(dāng)焦點(diǎn)為（-15，0）時(shí)，即

p

2

=15，
∴p=30，此時(shí)拋物線方程為：y²=-60x：
當(dāng)焦點(diǎn)為（0，-5）時(shí)，即

p

2

=5，
∴p=10，此時(shí)拋物線方程為：x²=-20y；
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=-60x或x²=-20y．