Question

18．已知橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{k}$=1的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則k的值為2或8．

Answer 1

分析 對(duì)橢圓的焦點(diǎn)分類討論，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a²=4，b²=k，4＞k，$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{4-k}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-k}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=2．
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a²=k，b²=4，k＞4，$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{k-4}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{k-4}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=8．
∴k=2或8，
故答案為：2或8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．