Question

設函數f（x）=x³+3bx²+3cx存在兩個極值點x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]則b²+c²的范圍為

 

．

Answer 1

分析：由f（x）得f′（x）=3x²+6bx+3c由題意知方程f′（x）=0有兩個根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]則由根的分布得有2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0．正確理解b²+c²的含義是距離的平方，再結合線性規(guī)劃求出答案即可．

解答：解：f′（x）=3x²+6bx+3c，
由題意知方程f′（x）=0有兩個根x₁，x₂，
且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]則有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．
即滿足下列條件
2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0．
故有圖中四邊形ABCD即是滿足這些條件的點（b，c）的區(qū)域．
則b²+c²表示點（b，c）與原點距離的平方．
根據兩點之間的距離公式與點到直線的距離公式可得：b²+c²的范圍為[

1

5

，

17

4

]．
故答案為[

1

5

，

17

4

]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉導數與實根分布問題的處理方法，進而轉化為利用線性規(guī)劃問題求最值（距離的平方、在y軸上的截距、直線的斜率），像這種綜合性較強的題目是學生的難點也是高考考查的重點．