Question

設函數(shù)f（x）=x²+（2a+1）x+a²+3a（a∈R）．
（I）若f（x）在[0，2]上的最大值為0，求a的值；
（II）若f（x）在閉區(qū)間[α，β]上單調，且{y|y=f（x），α≤x≤β}=[α，β]，求α的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)對稱軸的位置，利用二次函數(shù)的單調性求出該二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，再由最大值為0，求出a的值．
（Ⅱ） 若f（x）在[α，β]上遞增，則有（1）；（2），即方程f（x）=x在，+∞）上有兩個不相等的實根，由 求得a的取值范圍．若f（x）在[α，β]上遞減，同理求得a的取值范圍．再把a的取值范圍取并集，即得所求．
解答：解：（Ⅰ） 當，即：時，．
故 a=-6（舍去），或a=-1；
當，即：時，．
故a=0（舍去）或a=-3．
綜上得：a的取值為：a=-1或a=-3． （5分）
（Ⅱ） 若f（x）在[α，β]上遞增，則滿足：（1）；（2），
即方程f（x）=x在，+∞）上有兩個不相等的實根．
方程可化為x²+2ax+a²+3a=0，設g（x）=x²+2ax+a²+3a，
則 ，解得：．     （5分）
若f（x）在[α，β]上遞減，則滿足：
（1）；（2）．
由得，兩式相減得（α-β）（α+β）+（2a+1）（α-β）=β-α，即α+β+2a+1=-1．
即β=-α-2a-2．
∴α²+（2a+1）α+a²+3a=-α-2a-2，即α²+（2a+2）α+a²+5a+2=0．
同理：β²+（2a+2）β+a²+5a+2=0．
即方程x²+（2a+2）x+a²+5a+2=0在上有兩個不相等的實根．
設h（x）=x²+（2a+2）x+a²+5a+2，則，解得：．    （5分）
綜上所述：．
點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．