Question

已知向量m=(2cosα，2sinα)，n=(2sinβ，2cosβ)，|m+n|=

8 5

5

．
（Ⅰ）求sin（α+β）的值；
（Ⅱ）設0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，cosβ=

12

13

，求cosα的值．

Answer 1

分析：（1）通過向量的加法運算和模的運算可得到sin（α+β）的值．
（2）由α=（α+β）-β，運用兩角差的余弦定理可得答案．

解答：（Ⅰ）解：∵m+n=（2cosα+2sinβ，2sinα+2cosβ），
∴|m+n|=2

(cosα+sinβ)2+(sinα+cosβ)2

=2

2+2sin(α+β)

．
∴2

2+2sin(α+β)

=

8 5

5

．
∴sin(α+β)=

3

5

；
（Ⅱ）解：∵0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，
∴-

π

2

＜α+β＜

π

2

．
又∵sin(α+β)=

3

5

，∴sinβ=-

5

13

，cos（α+β）=

4

5

∵α=（α+β）-β，
∴cosα=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．

點評：本題主要考查向量的坐標運算和三角函數(shù)中的兩角差的余弦公式．向量和三角的綜合是高考中必考題，尤其是向量的坐標運算和兩角和與差的正余弦公式的結合更是高考的熱點．