18．在數(shù)列{an}中．a(chǎn)1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析 （1）由an+1=2an-n+1，得到$\frac{{a}_{n+1}-（n+1）}{{a}_{n}-n}$=2，即可得到數(shù)列{an-n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
（2）由（1）可得an-n=1•2n-1，即可求出通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）an+1=2an-n+1，
∴an+1-（n+1）=2（an-n），
∴$\frac{{a}_{n+1}-（n+1）}{{a}_{n}-n}$=2，
∵a1=2，
∴a1-1=2-1=1，
∴數(shù)列{an-n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，；
（2）由（1）可得an-n=1•2n-1，
∴an=n+2n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．如圖，A、B分別是射線OM、ON上的點(diǎn)，給出下列以O(shè)為起點(diǎn)的向量：①$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$；②$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$；③$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$；④$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$；⑤$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$．其中終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的向量的序號(hào)有（　�。�
A．①②④B．①③C．②③⑤D．①③⑤

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若F，A分別是橢圓的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，H是直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$與x軸的交點(diǎn)，設(shè)$\frac{|AF|}{|OH|}$=f（e）（e為橢圓的離心率），求f（e）的最大值；
（2）若點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓上任意一點(diǎn)，從原點(diǎn)O作圓（x-x0）2+（y-y0）2=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$的兩條切線，且兩條切線的斜率都存在，記為k1，k2，求k1k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

6．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中a1=1，且${a}_{n}^{2}$•an+1+（Sn-Sn-1）2-an•an+1=0，則an=$\frac{1}{n}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．若A（xl，y1），B（x2，y2）為平面上兩點(diǎn)，則定義A?B=x1y1+x2y2，已知點(diǎn)M（$\sqrt{3}$，sinx），N（-1，cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=M?N，將f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位長度后，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的最小值為（　�。�
A．$\frac{π}{6}$B．$\frac{π}{3}$C．$\frac{2π}{3}$D．$\frac{5π}{6}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．在有限數(shù)列{an}中，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，把$\frac{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+…+{S_n}}}{n}$稱為數(shù)列{an}的“優(yōu)化和”，若數(shù)列a1，a2，a3，…，a2011的“優(yōu)化和”為2012，則數(shù)列1，a1，a2，a3，…，a2011的“優(yōu)化和”為2012．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．下列各式中正確的是（　�。�
A．sin（arcsin$\frac{π}{3}$）=$\frac{π}{3}$B．sin（arcsin$\frac{3}{π}$）=$\frac{3}{π}$
C．arccos（-x）=arccosxD．arctan（tan$\frac{2π}{3}$）=$\frac{2π}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

7．寫出如圖陰影部分的角的集合為{α|-150°+k•360°≤α≤150°+k•360°，k∈Z}．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{\frac{1}{3}，x≤-1}}\\{x+\frac{2}{x}-7，x＞-1}\end{array}\right.$則f[f（-8）]=（　�。�
A．4B．-4C．2D．-2

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