設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn
(1)若數(shù)列首項(xiàng)為a1=
32
,公差d=1,求滿足Sk2=(Sk2的正整數(shù)k的值;
(2)若Sn=n2,求通項(xiàng)an;
(3)求所有無(wú)窮等差數(shù)列{an},使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk2成立.
分析:(1)利用等差數(shù)列的求和公式表示出前n項(xiàng)的和,代入到 Sk2=(Sk)2求得k.
(2)利用n≥2時(shí)an=sn-sn-1求通項(xiàng)公式,但注意n=1時(shí),也符合上式,即可求出通項(xiàng)公式.
(3)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,在 Sn2=(Sn)2中分別取k=1,2求得a1,代入到前n項(xiàng)的和中分別求得d,進(jìn)而對(duì)a1和d進(jìn)行驗(yàn)證,最后綜合求得答案.
解答:解:(1)當(dāng) a1=
3
2
,d=1
時(shí),Sn=na1+
n(n-1)
2
d=
3
2
n+
n(n-1)
2
=
1
2
n2+n

1
2
k4+k2=(
1
2
k2+k) 
2

整理得k3(
1
4
k-1)=0

∴k=0或k=4
又∵k≠0,
∴k=4.
(2)當(dāng)n=1時(shí),s1=a1=1
當(dāng)n≥2時(shí),an=sn-sn-1=2n-1
a1也符合上式
∴an=2n-1
(3)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則在 Sn2=(Sn)2中分別取k=1,2,由(1)得a1=0或a1=1.
當(dāng)a1=0時(shí),代入(2)得d=0或d=6,
若a1=0,d=0,則an=0,Sn=0,從而Sk=(Sk2成立
若a1=0,d=6,則an=6(n-1),由S3=18,(S32=324,Sn=216知s9≠(S32,故所得數(shù)列不符合題意.
當(dāng)a1=1時(shí),代入(2)得4+6d=(2+d)2,解得d=0或d=2
若a1=1,d=0,則an=1,Sn=n,從而 Sk2=(Sk)2成立;
若a1=1,d=2,則an=2n-1,Sn=1+3+…+(2n-1)=n2,從而S=(Sn2成立
綜上,共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列:
∴an=0,an=1,an=2n-1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用.考查了學(xué)生綜合分析問題,歸納推理,創(chuàng)造性思維的能力.屬中檔題.
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設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn
(1)若首項(xiàng)a1=
32
,公差d=1,滿足Sk2=(Sk2的正整數(shù)k=
4
4
;
(2)對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk2成立的所有的無(wú)窮等差數(shù)列是
an=0或an=1或an=2n-1
an=0或an=1或an=2n-1

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設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{an},使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sk3=(Sk)3成立.

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(2004•江蘇)設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn
(Ⅰ)若首項(xiàng)a1=
32
,公差d=1.求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k;
(Ⅱ)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{an},使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk)2成立.

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設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn
(Ⅰ)若首項(xiàng)a1=,公差d=1.求滿足的正整數(shù)k;
(Ⅱ)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{an},使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立.

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