已知a>1,b>1,則
a2
b-1
+
b2
a-1
的最小值為( 。
分析:利用換元法,令m=b-1,n=a-1,而a>1,b>1,則m>0,n>0,a=1+n,b=1+m,
a2
b-1
+
b2
a-1
=
(1+n)2
m
+
(1+m)2
n
=
n2
m
+
1
m
+
m2
n
+
1
n
+
2n
m
+
2m
n
,利用均值不等式可求出最小值.
解答:解:令m=b-1,n=a-1,而a>1,b>1
則m>0,n>0,a=1+n,b=1+m
a2
b-1
+
b2
a-1
=
(1+n)2
m
+
(1+m)2
n
=
n2
m
+
1
m
+
m2
n
+
1
n
+
2n
m
+
2m
n

2
n2
m
×
1
m
+2
m2
n
×
1
n
+4=
2n
m
+
2m
n
+4
≥8
當且僅當m=m=1時取等號
a2
b-1
+
b2
a-1
的最小值為8
故選D.
點評:本題主要考查了基本不等式的應用,解題的關(guān)鍵注意等號成立的條件,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)已知|a|<1,|b|<1,求證:|
1-ab
a-b
|>1;
(2)求實數(shù)λ的取值范圍,使不等式|
1-abλ
aλ-b
|>1對滿足|a|<1,|b|<1的一切實數(shù)a、b恒成立;
(3)已知|a|<1,若|
a+b
1+ab
|<1,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a>1,b>1,且
1
4
lna,
1
4
,lnb成等比數(shù)列,則ab(  )
A、有最大值e
B、有最小值e
C、有最大值
e
D、有最小值
e

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

3、已知a、b是兩條不重合的直線,α、β是兩個不重合的平面,給出四個命題:
①a∥b,b∥α,則a∥α;
②a、b?α,a∥β,b∥β,則α∥β;
③a與α成30°的角,a⊥b,則b與α成60°的角;
④a⊥α,b∥α,則a⊥b.
其中正確命題的個數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a>1,b>1且a≠b,則下列各式中最大的是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源:寧波模擬 題型:解答題

(1)已知|a|<1,|b|<1,求證:|
1-ab
a-b
|>1;
(2)求實數(shù)λ的取值范圍,使不等式|
1-abλ
aλ-b
|>1對滿足|a|<1,|b|<1的一切實數(shù)a、b恒成立;
(3)已知|a|<1,若|
a+b
1+ab
|<1,求b的取值范圍.

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