Question

在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，某小組要測(cè)量河對(duì)面C和D兩個(gè)建筑物的距離，作圖如下，所測(cè)得的數(shù)據(jù)為AB=50米，∠DAC=75°，∠CAB=45°，∠DBA=30°，∠CBD=75°，請(qǐng)你幫他們計(jì)算一下，河對(duì)岸建筑物C、D的距離？

Answer 1

分析：根據(jù)題設(shè)及所給的圖形，可先解出AD的長(zhǎng)度，然后解出三角形DAC的角，在這個(gè)三角形中求出DC的長(zhǎng)度即可

解答：解：在ABD中，∴B+C=

π

3

，∵A+B+C=π，∴A=

2π

3

，所以a²=b²+c²-2bc•cosA，△ABD為為等腰三角形，
即(2

3

)2=(b+c)2-2bc-2bc•cos

2π

3

在12=16-2bc-2bc•(-

1

2

)中，∴bc=4，
∴S△ABC=

1

2

bc•sinA=

1

2

•4•

3

2

=

3

，
由于∠ACB=30°，由正弦定理可得

AC

sin105°

=

AB

sin30°

，計(jì)算得AC=25(

6

+

2

)；
在△ACD中，∠DAC=75°，AC=25(

6

+

2

)，AD=50，
根據(jù)余弦定理可得CD=

AD2+AC2-2AD•ACcos∠DAC

=

2500+2500(2+ 3 )-2×25× 6 + 2 4 ×50× 6 - 2 4

=25(

6

+

2

)
答：河對(duì)岸建筑物C、D的距離為25(

6

+

2

)米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．