如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于O,AB=4,AD=3.沿AC把△ACD折起,使二面角D1-AC-B為直二面角.
(1)求直線AD1與直線DC所成角的余弦值;
(2)求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大。
分析:(1)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),平面ABC為xOy平面,BC,BA方向分別為x軸,y軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,求出
AD1
,
DC
的坐標(biāo),利用向量的夾角公式,即可求直線AD1與直線DC所成角的余弦值;
(2)分別求出平面D1BC的法向量、平面D1BA的法向量,利用向量的夾角公式,即可求出二面角A-DD1-C的平面角正弦值大。
解答:解:(1)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),平面ABC為xOy平面,BC,BA方向分別為x軸,y軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.則B(0,0,0),C(3,0,0),A(0,4,0).
在矩形ABCD中,作DH⊥AC于H,HM⊥BC于M,HN⊥AB于N,則H即為D1在平面ABC上的射影.
∵AB=4,AD=3,∴AC=5,DH=
12
5
,HN=
27
25
,HM=
64
25
,D1(
27
25
64
25
,
12
5
)
,…(6分)
AD1
=(
27
25
,
64
25
12
5
)-(0,4,0)=(
27
25
-36
25
,
12
5
)
,
DC
=(3,0,0)-(3,4,0)=(0,-4,0)
,
所以cos<
AD1
DC
>=
AD1
DC
|
AD1
||
DC
|
=
12
25
.      …(10分)
(2)設(shè)平面D1BC的法向量為
n
=(a,b,c)
BC
=(3,0,0),
BA
=(0,4,0)

n
BC
=0
,
n
D1B
=0
,∴
a=0
27a+64b+60c=0
n
=(0,-15,16)

設(shè)平面D1BA的法向量為
m
=(x,y,z)
,
m
BA
=0
,
m
D1B
=0

y=0
27x+64y+60z=0
,∴
m
=(-20,0,-9)
.…(14分)
cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=-
144
481
,
sinθ=
1-(
144
481
)
2
=
25
337
481
.…(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查空間角,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,確定向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵.
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2
2
x,y=x
1
2
,y=(
2
2
)x
的圖象上,且矩形的邊分別平行于兩坐標(biāo)軸,若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為
1
2
,
1
4
1
2
,
1
4

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(2008•佛山二模)某物流公司購(gòu)買了一塊長(zhǎng)AM=30米、寬AN=20米的矩形地塊,規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形ABCD的倉(cāng)庫(kù),其余地方為道路或停車場(chǎng),要求頂點(diǎn)C在地塊對(duì)角線MN上,頂點(diǎn)B,D分別在邊AM,AN上,設(shè)AB長(zhǎng)度為x米.
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7
5
7
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