在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于點E，求證：

(1)BD1⊥平面ACB1；

(2).

證明：(1)我們先證明BD1⊥AC：

∵,,

∴

.

∴BD1⊥AC.同理可證BD1⊥AB1, 于是BD1⊥平面ACB1.

(2)設(shè)底面正方形的對角線AC、BD交于點M, 則, 即對于空間任意一點O, 設(shè),,,, 則上述等式可改寫成2(m-b)=d1-b1或b1+2m=d1+2b.記.此即表明, 由e向量所對應(yīng)的點E分線段B1M及D1B各成λ(=2)之比.所以點E既在線段B1M面ACB1上又在線段D1B上, 所以點E是D1B與平面ACB1的交點, 此交點E將D1B分成2與1之比, 即D1E:EB=2:1, 即.

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11、如圖所示在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，給出以下四個命題：
①異面直線C1P和CB1所成的角為定值；
②二面角P-BC1-D的大小為定值；
③三棱錐D-BPC1的體積為定值；
④直線CP與直線ABC1D1所成的角為定值．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AB與CD1之間的距離是（　�。�

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在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1 和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（　�。�

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（理科）如圖，在棱長為1的正方體A'C中，過BD及B'C'的中點E作截面BEFD交C'D'于F．
（1）求截面BEFD與底面ABCD所成銳二面角的大��；
（2）求四棱錐A'-BEFD的體積．

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（2004•武漢模擬）（文科）在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，AC′為對角線，M、N分別為BB′，B′C′中點，P為線段MN中點．
（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切；
（2）求四面體P-AC′D′的體積．

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