Question

10．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{2}{3}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是它的左、右焦點，且存在直線l，使F₁，F(xiàn)₂關(guān)于l的對稱點恰好為圓C：x²+y²-4mx-2my+5m²-4=0（m∈R，m≠0）的一條直徑的兩個端點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A，B兩點，射線F₁A，F(xiàn)₁B與橢圓E分別相交于點M，N，試探究：是否存在數(shù)集D，當(dāng)且僅當(dāng)p∈D時，總存在m，使點F₁在以線段MN為直徑的圓內(nèi)？若存在，求出數(shù)集D；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圓心與半徑，由c=2，根據(jù)離心率公式即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）求得直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$＜0，代入即可求得求得．

解答 解：（1）將圓C的方程配方的：（x-2m）²+（y-m）²=4，則圓心C（2m，m），半徑為2，
由橢圓的焦距為2c=d=4，c=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，則a=3，
b²=a²-c²=5，故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）由F₁，F(xiàn)₂關(guān)于l的對稱點恰好是圓C的一條直徑的兩個端點，則直線l是線段OC的垂直平分線，
故l方程為y=-2x+$\frac{5m}{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=-2x+\frac{5m}{2}}\end{array}\right.$，整理得2y²+2py-5pm=0，
則△=（2p）²+4×2×5p＞0，則p+10m＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），則y₁+y₂=-p，y₁y₁=-$\frac{5}{2}pm$，
由F₁的坐標(biāo)為（-2，0），則$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₂+2，y₂），
由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$與$\overrightarrow{{F}_{1}A}$同向，$\overrightarrow{{F}_{1}N}$與$\overrightarrow{{F}_{1}B}$同向，
則點F₁在以線段MN為直徑的圓內(nèi)，則$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$＜0，則$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$＜0，
則（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂＜0，即x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₁＜0，則$\frac{25{m}^{2}}{4}$+10（2-p）m+4（p+4）＜0，
當(dāng)且僅當(dāng)△=100（2-p）²-100（p+4）＞0，即p＞5，
總存在m使得②成立，
當(dāng)p＞5時，由韋達定理可知$\frac{25{m}^{2}}{4}$+10（2-p）m+4（p+4）=0的兩個根為正數(shù)，
故使②成立的m＞0，從而滿足①，
故存在整數(shù)集D=（5，+∞），當(dāng)且僅當(dāng)p∈D時，總存在m，使點F₁在線段MN為直徑的圓內(nèi)．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．