Question

18．如圖1，四面體PABC中，BC=BP=1，AC=AP=$\sqrt{3}$，AB=2，將△PAB沿直線AB翻折至△P₁AB，使點(diǎn)A，P1，B，C在同一平面內(nèi)（如圖2），點(diǎn)M為PC中點(diǎn)．
（1）求證：直線PP₁∥平面MAB；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）求直線PA與平面P₁PC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連接CP₁交AB與于O，連接MO，推導(dǎo)出MO∥PP₁，由此能證明直線PP₁∥平面MAB．
（2）推導(dǎo)出AM⊥PC，AM⊥BM，由此能證明PC⊥AB．
（3）由已知得AO⊥CP₁，AB⊥PC，從而AO⊥平面CPP₁，進(jìn)而∠APO是直線PA與平面P₁PC所成角，由此能求出直線PA與平面P₁PC所成角的大�。�

解答 證明：（1）連接CP₁交AB與于O，連接MO，
∵AC=AP₁=$\sqrt{3}$，CB=BP₁=1，∠ACB=∠P₁AB=30°，
∴O為CP₁中點(diǎn)，
∵點(diǎn)M為PC中點(diǎn)，∴MO∥PP₁，
∵M(jìn)O?平面MAB，PP₁?平面MAB，
∴直線PP₁∥平面MAB．
（2）∵AP=AC=$\sqrt{3}$，BP=BC=1，M為PC中點(diǎn)，
∴AM⊥PC，AM⊥BM，
∴PC⊥面ABM，AB在面ABM內(nèi)，
∴PC⊥AB．
解：（3）∵四面體PABC中，BC=BP=1，AC=AP=$\sqrt{3}$，AB=2，
將△PAB沿直線AB翻折至△P₁AB，使點(diǎn)A，P1，B，C在同一平面內(nèi)$\frac{π}{3}$，
O為CP₁中點(diǎn)，
∴AO⊥CP₁，由（2）知AB⊥PC，
又PC∩CP₁=C，∴AO⊥平面CPP₁，
∴∠APO是直線PA與平面P₁PC所成角，
∵∠ACB=∠P₁AB=30°，∴P₁O=$\frac{1}{2}A{P}_{\;}$₁=$\frac{1}{2}AP$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$AO=\sqrt{3-\frac{3}{4}}$=$\frac{3}{2}$，
∴sin$∠APO=\frac{AO}{AP}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠APO=$\frac{π}{3}$．
∴直線PA與平面P₁PC所成角為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線線垂直的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．