Question

設(shè)f（x）定義在實(shí)數(shù)集R上，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1且對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）gf（y），且f（1）=4，
（1）證明：f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)．
（2）解不等式：f（3x-x²）＞16．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）采用賦值法，令x=y=0，即可求得f（0）；
（2）對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），由f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）可求得f（x）＞0，再利用單調(diào)性的定義即可證明f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．

解答： 解：（1）令x=y=0，f（0）=f²（0）⇒f（0）=0或f（0）=1，
∵x＞0時，f（x）＞1
∴f（1）＞1，又f（1）=f（1+0）=f（1）f（0），∴f（0）≠0，故f（0）=1．
又f（0）=f（x-x）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x），∴f（x）f（-x）=1，
∴對于任意x＜0，則-x＞0，∴f（-x）＞1，∴f(x)=

1

f(-x)

＞0，
∴?x∈R，f（x）＞0，
設(shè)任意的兩個實(shí)數(shù)x₁、x₂，且x₁＜x₂，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數(shù)，
（2）f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=4×4=16，
f（3x-x²）＞f（2），
∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴3x-x²＞2，
解得1＜x＜2，
∴原不等式的解集為{x|1＜x＜2}

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查賦值法的運(yùn)用，考查函數(shù)單調(diào)性的定義的應(yīng)用，屬于難題．