Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）（文科）已知k為非零常數(shù)，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）對(duì)于任意t∈R恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值集合；
（3）（理科）設(shè)不等式f（x）≤2的解集為集合A，若存在x∈A，使得x²+（1-a）x=-9求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

解：（1）f（x）=
∴x＞2時(shí)，2x-3＞1；x＜1時(shí)，3-2x＞1；1≤x≤2時(shí)，f（x）=1
∴f（x）_min=1
（2）∵|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
問題轉(zhuǎn)化為f（x）≤2 即|x-1|+|x-2|≤2
顯然由 得
得
∴實(shí)數(shù)x的取值集合為
（3），由x²+（1-a）x=-9得
由函數(shù)在上單調(diào)遞減∴
∴∴
故實(shí)數(shù)的最小值為
分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得f（x）=，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最小值
（2）由|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）對(duì)于任意t∈R恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）≤2 即|x-1|+|x-2|≤2，解絕對(duì)值不等式可得x的取值集合
（3）由（1）可得，由x²+（1-a）x=-9得
結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)性 及 從而有，解不等式可求a的取值范圍，進(jìn)而可求實(shí)數(shù)a的最小值
點(diǎn)評(píng)：（1）利用絕對(duì)值的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵（2）不等式的恒成立往往轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，（3）單調(diào)性的應(yīng)用是解決此類問題的重要方法