Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，若a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅
（1）求數(shù)列{b_n}的公比q；
（2）若a_n=b_m，n，m∈N^*，求n與m之間的關(guān)系；
（3）將數(shù)列{a_n}，{b_n}中的公共項(xiàng)按由小到大的順序排列組成一個(gè)新的數(shù)列{c_n}，是否存在正整數(shù)p，q，r（p＜q＜r）使得p，q，r和c_p+p，c_q+q，c_r+r均成等差數(shù)列？說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè){b_n}的公比為q，由題意即--------------------------------------------（2分）
q=1不合題意，故=，解得q²=2，
∴q=±----------------（4分）
（2）由a_n=b_n得：a+（n-1）d=aq^n-1，又2d=aq²-a=a，
∴d=------------------（6分）
∴1+=即n+1=（±1）^m-1•--------------------------（8分）
∵n+1∈N^*，
∴（±1）^m-1＞0，
∴m為奇數(shù)，且n=-1，-------（10分）
（3）若{a_n}與{b_n}有公共項(xiàng)，不妨設(shè)a_n=b_n，
由（2）知：m為奇數(shù)，且n=-1，
令m=2k-1（k∈N^*），則b_m=a•=a•2^k-1，
∴c_n=2^n-1a---------------------------------------------------------------（12分）
若存在正整數(shù)p、q、r（p＜q＜r）滿足題意，則
∴2^q=2^p-1+2^r-1，又2^p-1+2^r-1≥2=（當(dāng)且僅當(dāng)p=r時(shí)取“=”）
又∵p≠r，
∴2^p-1+2^r-1＞----------------------（14分）
又y=2^x在R上增，
∴q＞．與題設(shè)q=矛盾，
∴不存在p、q、r滿足題意．---------------------------------------------------（16分）
分析：（1）依題意，通過(guò)解方程組即可求得數(shù)列{b_n}的公比q；
（2）由a_n=b_n可求得d=，代入整理有n+1=（±1）^m-1•，可分析（±1）^m-1＞0，從而可得n與m之間的關(guān)系；
（3）設(shè)a_n=b_n，令m=2k-1（k∈N^*），可求得b_m=a•2^k-1，令c_n=2^n-1a，若存在正整數(shù)p、q、r（p＜q＜r）滿足題意，由基本不等式可得出矛盾，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用，考查方程思想與化歸思想的綜合運(yùn)用，突出抽象思維與邏輯推理能力的考查，屬于難題．