Question

設(shè)函數(shù)f（x）=的圖象上兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁） P₂（x₂，y₂），若=（+），且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（1）求證：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個定值；（2）若S_n=，n∈N*，求S_n；
（3）記T_n為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若T_n＜a（）對一切n∈N*都成立，試求a的取值范圍

Answer 1

【答案】分析：（1）中P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值需利用向量的知識，得到x₁+x₂=1，再代入函數(shù)解析式中求解；（2）中求s_n需利用（1）的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)列中倒序相加求和的方法解之；（3）在（2）的條件下求出數(shù)列利用裂項(xiàng)相加法解出數(shù)列通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相加法求出T_n，再將不等式變形，利用均值不等式求出的最大值即可．
解答：（1）證明：∵，∴P是P₁P₂的中點(diǎn)，∴x₁+x₂=1（2分）
∴=
==
∴（6分）
（2）解：由（1）知x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，f（1）=2-，，
相加得
=2f（1）+1+1+…+1（n-1個1）=∴（10分）
（3）解：=
=（12分）
⇒∵≥8，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，取“=”∴，因此，（14分）
點(diǎn)評：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)和向量，基本不等式，數(shù)列的通項(xiàng)公式及其數(shù)列的求和方法和運(yùn)算的基本技能等．指數(shù)函數(shù)與數(shù)列，不等式等其它知識的交匯命題，考查學(xué)生對知識的靈活應(yīng)用及其綜合分析推理的能力．