Question

以100元/件的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批羊毛衫，以高于進(jìn)價(jià)的相同價(jià)格出售．羊毛衫的銷(xiāo)售有淡季與旺季之分．標(biāo)價(jià)越高，購(gòu)買(mǎi)人數(shù)越少．我們稱剛好無(wú)人購(gòu)買(mǎi)時(shí)的最低標(biāo)價(jià)為羊毛衫的最高價(jià)格．某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某品牌的羊毛衫，無(wú)論銷(xiāo)售淡季還是旺季，進(jìn)貨價(jià)都是100/件．針對(duì)該品牌羊毛衫的市場(chǎng)調(diào)查顯示：
①購(gòu)買(mǎi)該品牌羊毛衫的人數(shù)是標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)；
②該品牌羊毛衫銷(xiāo)售旺季的最高價(jià)格是淡季最高價(jià)格的

3

2

倍；
③在銷(xiāo)售旺季，商場(chǎng)以140元/件價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)能獲取最大利潤(rùn)．
（I）分別求該品牌羊毛衫銷(xiāo)售旺季的最高價(jià)格與淡季最高價(jià)格；
（II）問(wèn)：在淡季銷(xiāo)售時(shí)，商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為多少．

Answer 1

分析：（I）設(shè)在旺季銷(xiāo)售時(shí)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為x元/件，購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為kx+b（k＜0），則旺季的最高價(jià)格為-

b

k

元/件，從而求出利潤(rùn)函，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間[100，-

b

k

]上求出最值即可求出所求；
（II）現(xiàn)設(shè)淡季銷(xiāo)售時(shí)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為t元/件，購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為mt+n（m＜0），則淡季的最高價(jià)格為-

n

m

=120（元/件），得m與n的關(guān)系，從而得到利潤(rùn)函數(shù)L（t），求出最大值即可．

解答：解：（I）設(shè)在旺季銷(xiāo)售時(shí)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為x元/件，購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為kx+b（k＜0），
則旺季的最高價(jià)格為-

b

k

元/件，利潤(rùn)函
L（x）=（x-100）•（kx+b）=kx²-（100k-b）-100b，x∈[100，-

b

k

]，
當(dāng)x=

100k-b

2k

=50-

b

2k

時(shí)，L（x）最大，由題意知，50-

b

2k

=140，解得-

b

k

=180，
即旺季的最高價(jià)格是180（元/件），則淡季的最高價(jià)格是180×

2

3

=120（元/件）．
（II）現(xiàn)設(shè)淡季銷(xiāo)售時(shí)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為t元/件，購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為mt+n（m＜0），
則淡季的最高價(jià)格為-

n

m

=120（元/件），即n=-120m，
利潤(rùn)函數(shù)L（t）=（t-100）•（mt+n）=（t-100）•（mt-120m）
=-m（t-100）•（120-t），t∈[100，120]．
∴t-100=120-t，即t=110時(shí)，L（t）為最大，
∴在淡季銷(xiāo)售時(shí)，商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為110元/件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系，屬于中檔題．