Question

（2007•崇文區(qū)二模）如圖所示，已知A（-1，0），B（1，0），直線l垂直AB于A點，P為l上一動點，點N為線段BP上一點，且滿足

BP

=2

BN

，點M滿足

PM

=λ

AB

（λ＞0），

MN

•

BP

=0．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程C；
（Ⅱ）在上述曲線C內(nèi)是否存在一點Q，若過點Q的直線與曲線C交于兩點E、F，使得以EF為直徑的圓都與l相切．若存在，求出點Q的坐標．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由

MN

•

BP

=0，

BP

=2

BN

知MN為線段BP的垂直平分線，即|MB|=|MP|，由拋物線定義知點M的軌跡為拋物線，點B為焦點，直線l為準線，進而可得動點M的軌跡方程C；
（Ⅱ）結合（I）中結論，設EF為拋物線的焦點弦，設其中點為H，分別由E、H、F向l作垂線，垂足分別為R、S、T．根據(jù)梯形中位線定理可得EF為直徑的圓的圓心到直線l的距離等于半徑．即以EF為直徑的圓必與直線l相切．

解答：解：（I）由

BP

=2

BN

知點N為BP中點
由

PM

=λ

AB

（λ＞0），知

PM

∥

AB

且點M與B位于l同側(cè)
∵

MN

•

BP

=0，
∴

MN

⊥

BP

由此知MN為線段BP的垂直平分線，
所以應有|MB|=|MP|
由拋物線定義知點M的軌跡為拋物線，點B為焦點，直線l為準線…（8分）
因為A（-1，0），B（1，0），
所以l：x=-1
拋物線方程為y²=4x，即為點M的軌跡方程…（10分）
（II）存在點Q，即為焦點B（1，0）…（11分）
先證明如下：設EF為拋物線的焦點弦，設其中點為H，分別由E、H、F向l作垂線，垂足分別為R、S、T．
由梯形的中位線知：|HS|=

1

2

(|ER|+|FT|)=

1

2

(|EB|+|FB|)=

1

2

|EF|…（13分）
即以EF為直徑的圓的圓心到直線l的距離等于半徑．
所以以EF為直徑的圓必與直線l相切．
所以，存在點Q，其坐標為（1，0）．…（14分）

點評：本題考查的知識點是拋物線的定義及性質(zhì)，熟練掌握拋物線的定義和性質(zhì)及直線與圓的位置關系等基本知識點是解答本題的關鍵．