設(shè)x1、x2是函數(shù)數(shù)學(xué)公式（a＞0）的兩個極值點(diǎn)．
（1）若x1＜2＜x2＜4，求證：f′（-2）＞3；
（2）如果|x1|＜2，|x2-x1|=2，求b的取值范圍．

（1）證明：由已知得：f'（x）=ax2+（b-1）x+1，x1，x2是方程f'（x）=0的兩根．
由于，
由于f'（-2）=4a-2b+3，
①×（-3）+②得：4a-2b＞0，
∴f'（-2）=4a-2b+3＞3．
（2）解：由韋達(dá)定理得，，
故，
①當(dāng)
這時，由|x2-x1|=2，得x2=x1+2，
即為增函數(shù)（也可用求導(dǎo)法來證），
故．
②當(dāng)也為增函數(shù)，
故這時，，
綜上，b的取值范圍是．
分析：（1）由已知得，x1，x2是方程f'（x）=0的兩根，再根據(jù)x1＜2＜x2＜4，可得，為關(guān)于a，b的不等式組，利用不等式的性質(zhì)可求證f′（-2）＞3；
（2）利用韋達(dá)定理先把b用x1、x2表示出來，分0＜x1＜2及-2＜x1＜0兩種情況進(jìn)行討論，把b表示為關(guān)于x1的函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性可求出b的范圍．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件及二次方程根的分布問題等知識，解決第（2）題的關(guān)鍵是通過討論把b表示成關(guān)于x1的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)處理．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x（a＞0，b∈R）的兩個極值點(diǎn)，且丨x1-x2丨=2．
（Ⅰ）用a的代數(shù)式表示b2；
（Ⅱ）求證：0＜a≤1；
（Ⅲ）求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2-bx（a，b∈R），g（x）=
2x-2
x+1
-lnx
（I）當(dāng)a=-1時，f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，求b的取值范圍；
（II）設(shè)x1，x2是函數(shù)y=f（x）的兩個零點(diǎn)，且x1＜x2求證
2
x1+x2
＜a（x1+x2）+b．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且f（1）=-
a2
．
（1）求證：函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)；
（2）設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，求|x1-x2|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）=2008x定義域內(nèi)的兩個變量，且x1＜x2，若a=
1
2
（x1+x2），那么，下列不等式恒成立的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）=x3-2ax2+a2x的兩個極值點(diǎn)，若x1＜2＜x2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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