Question

如圖，已知正三角形PAD，正方形ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥AE；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）求直線AC與平面PCD所成的角的大小的正弦．．

Answer 1

解：（1）取AD的中點(diǎn)O，由正△PAD可得PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD．
又∵CD⊥AD，PO∩AD=O，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE．
（2）由（1）可知：CD⊥AE．
∵E為正三角形PAD的邊PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
（3）由（2）可知：AE⊥平面PCD．
∴∠ACE即為直線AC與平面PCD所成的角．
不妨設(shè)AD=2．
則AE=，AC=2．
∴=．
分析：（1）利用線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；
（2）利用（1）的結(jié)論和正三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即可證明；
（3）利用（2）的結(jié)論和線面角的定義即可知道∠ACE即為所求的線面角．
點(diǎn)評：熟練掌握線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、正三角形的性質(zhì)、線面角的定義是解題的關(guān)鍵．