Question

已知鈍角△ABC的三邊的長(zhǎng)是3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中最大角為∠A，則cosA=

-

1

4

．

Answer 1

分析：先設(shè)△ABC的三邊分別為n-1，n，n+1，由最大角為∠A，求得cosA＜0，然后根據(jù)余弦定理得出（n-1）²+n²＜（n+1）²，求得當(dāng)n=3時(shí)，滿足條件，即△ABC三邊長(zhǎng)為2，3，4，且a=4，再利用余弦定理求得 cosA的值．

解答：解：設(shè)△ABC的三邊c，b及a分別為n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），
∵△ABC是鈍角三角形，∠A為鈍角，則有cosA＜0，
由余弦定理得：（n+1）²=（n-1）²+n²-2n（n-1）•cosA＞（n-1）²+n²，
即（n-1）²+n²＜（n+1）² ，化簡(jiǎn)可得n²-4n＜0，故0＜n＜4，
∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3．
當(dāng)n=2時(shí)，不能構(gòu)成三角形，舍去． 當(dāng)n=3時(shí)，△ABC三邊長(zhǎng)分別為2，3，4．
由余弦定理可得 16=4+9-12cosA cosA=-

1

4

，
故答案為：-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有三角形的邊角關(guān)系，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及余弦定理，靈活運(yùn)用余弦定理，得出（n-1）²+n²＜（n+1）²，是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．