【題目】已知橢圓的實軸長為4,焦距為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l經(jīng)過點且與橢圓C交于不同的兩點M,N(異于橢圓的左頂點),設(shè)點Q是x軸上的一個動點.直線QM,QN的斜率分別為,,試問:是否存在點Q,使得為定值?若存在.求出點Q的坐標(biāo)及定值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)在x軸上存在點,使得為定值.
【解析】
(1)根據(jù)實軸長為4,焦距為直接代入即可
(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時,它與橢圓只有一個交點,不滿足題意;所以直線l的斜率k存在,設(shè)直線l的方程為,把它和橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求出兩根之和與兩根之積,代入到中,令對應(yīng)項系數(shù)成比例即可.
解:(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c.
因為橢圓C的長軸長為4,焦距為,
所以,
解得.則.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
故答案為:.
(2)假設(shè)存在滿足條件的點,
當(dāng)直線l與x軸垂直時,它與橢圓只有一個交點,不滿足題意;所以直線l的斜率k存在,設(shè)直線l的方程為.
聯(lián)立,
得,.
設(shè)點,,
則,
,
要使為定值.則需滿足,
解得.
此時.
所以在x軸上存在點,使得為定值
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【題目】如圖:在三棱錐中,面,是直角三角形,,,,點、、分別為、、的中點.
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成的角的正弦值;
(3)求二面角的正切值.
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,以原點為圓心,橢圓的長半軸為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點, 為動直線與橢圓的兩個交點,問:在軸上是否存在點,使為定值?若存在,試求出點的坐標(biāo)和定值,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知,且,向量, .
(1)求函數(shù)的解析式,并求當(dāng)時, 的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時, 的最大值為5,求的值;
(3)當(dāng)時,若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物(也稱可入肺顆粒物).為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表:
時間 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
車流量×(萬輛) | 50 | 51 | 54 | 57 | 58 |
PM2.5的濃度(微克/立方米) | 60 | 70 | 74 | 78 | 79 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)若周六同一時間段的車流量是25萬輛,試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測此時PM2.5的濃度為多少(保留整數(shù))?
參考公式:由最小二乘法所得回歸直線的方程是:,其中,
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 命題“若,則”的逆否命題為真命題
B. 命題“若,則”的否命題為“若,則”
C. 命題“,使得”的否定是“,都有”
D. 若,則“”是“”的充分不必要條件
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【題目】對于函數(shù)f(x)若存在x0∈R,f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點.已知f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).
(1)當(dāng)a=1,b=-2時,求函數(shù)f(x)的不動點;
(2)若對任意實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點,求a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上A,B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點,且A,B兩點關(guān)于直線y=kx+對稱,求b的最小值.
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【題目】如圖1,矩形中,,是的中點,以為折痕把折起,使點到達(dá)點的位置,且,如圖2.
(1)求證:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】為了解中學(xué)生對交通安全知識的掌握情況,從農(nóng)村中學(xué)和城鎮(zhèn)中學(xué)各選取100名同學(xué)進(jìn)行交通安全知識競賽.下圖1和圖2分別是對農(nóng)村中學(xué)和城鎮(zhèn)中學(xué)參加競賽的學(xué)生成績按,,,分組,得到的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)分別估算參加這次知識競賽的農(nóng)村中學(xué)和城鎮(zhèn)中學(xué)的平均成績;
(Ⅱ)完成下面列聯(lián)表,并回答是否有的把握認(rèn)為“農(nóng)村中學(xué)和城鎮(zhèn)中學(xué)的學(xué)生對交通安全知識的掌握情況有顯著差異”?
成績小于60分人數(shù) | 成績不小于60分人數(shù) | 合計 | |
農(nóng)村中學(xué) | |||
城鎮(zhèn)中學(xué) | |||
合計 |
附:
臨界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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