Question

甲、乙兩人進行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發(fā)子彈．根據(jù)以往資料知，甲擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率分別為0.6，0.3，0.1，乙擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率分別為0.4，0.4，0.2．
設甲、乙的射擊相互獨立．
（Ⅰ）求在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率；
（Ⅱ）求在獨立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率．

Answer 1

解：記A₁，A₂分別表示甲擊中9環(huán)，10環(huán)，B₁，B₂分別表示乙擊中8環(huán)，9環(huán)，
A表示在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，
B表示在三輪比賽中至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，
C₁，C₂分別表示三輪中恰有兩輪，三輪甲擊中環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)．
（Ⅰ）甲、乙的射擊相互獨立
在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)包括三種情況，
用事件分別表示為A=A₁•B₁+A₂•B₁+A₂•B₂，且這三種情況是互斥的，
根據(jù)互斥事件和相互獨立事件的概率公式得到
∴P（A）=P（A₁•B₁+A₂•B₁+A₂•B₂）=P（A₁•B₁）+P（A₂•B₁）+P（A₂•B₂）
=P（A₁）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₂）
=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．
（Ⅱ）由題意知在獨立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)表示三輪中恰有兩輪或三輪甲擊中環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，這兩種情況是互斥的，即B=C₁+C₂，
∵P（C₁）=C₃²[P（A）]²[1-P（A）]=3×0.2²×（1-0.2）=0.096，
P（C₂）=[P（A）]³=0.2³=0.008，
∴P（B）=P（C₁+C₂）=P（C₁）+P（C₂）=0.096+0.008=0.104．
分析：（Ⅰ）甲、乙的射擊相互獨立，在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)包括三種情況，用事件分別表示為A=A₁•B₁+A₂•B₁+A₂•B₂，且這三種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件和相互獨立事件的概率公式得到結果．
（Ⅱ）由題意知在獨立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)表示三輪中恰有兩輪或三輪甲擊中環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，這兩種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件和相互獨立事件的概率公式得到結果．
點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，包括應用互斥事件和相互獨立事件的概率，相互獨立事件是指兩事件發(fā)生的概率互不影響，這是可以作為一個解答題的題目，是一個典型的概率題．