Question

1．已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a，b∈R，當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{2}$時(shí)，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合記為A；當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，使g（x）=f（x）-bx是單調(diào)函數(shù)的b的集合記為B．求A∩∁_RB（R為全集）．

Answer 1

分析 （1）令x=-1，y=1，利用f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），即可求得f（0）的值；
（2）令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1），結(jié)合f（0）=-2，可求f（x）的解析式；
（3）根據(jù)題意，將f（x）+3＜2x+a變形可得x²-x+1＜a，分析x²-x+1的最大值，可得a的范圍，即集合A；由（2）可得g（x）的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得b的取值范圍，即可得集合B，進(jìn)而可得C_RB；從而可求A∩C_RB．

解答 解：（1）根據(jù)題意，在f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）中，
令x=-1，y=1，可得f（0）-f（1）=-1（-1+2+1），
又由f（1）=0，則有f（0）=-2；
（2）在f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）中，
令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1）
又由f（0）=-2，則f（x）=x²+x-2；
（3）不等式f（x）+3＜2x+a，等價(jià)于x²+x-2+3＜2x+a，即x²-x+1＜a，
若不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，則有x²-x+1＜a恒成立，
又由$0＜x＜\frac{1}{2}$，則$\frac{3}{4}$＜x²-x+1＜1，必有a＞1；
故A={a|a≥1}；
g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2，
若g（x）在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，必有$\frac{a-1}{2}$≤-2或$\frac{a-1}{2}$≥2成立，
解可得a≤-3，或a≥5．
故B={a|a≤-3，或a≥5}，則C_RB={a|-3＜a＜5}
故A∩C_RB={a|1≤a＜5}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，此類問題一般用特殊值法分析，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合A，B．