Question

（2008•和平區(qū)三模）已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，（x∈R）在任意一點(diǎn)（x₀，f（x））處的切線的斜率為k=（x₀-2）（x₀+1）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若y=f（x）在-3≤x≤2上的最小值為

5

2

，求y=f（x）在R上的極大值．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=3ax²+2bx+c和f（x）在（x₀，f（x₀））處的切線斜率k=（x₀-2）（x₀+1），能求出求a，b，c的值．
（2）由f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，列表能求出函數(shù)f（x）在R上的極大值．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，（1分）
而f（x）在（x₀，f（x₀））處的切線斜率k=f′（x₀）=3ax₀²+2bx₀+c=（x₀-2）（x₀+1），
∴3a=1，2b=-1，c=-2，
∴a=

1

3

，b=-

1

2

，c=-2．（3分）
（2）∵f（x）=

1

3

x3 -

1

2

x2-2x+d，
由f′（x）=x²-x-2
=（x-2）（x+1）≥0，
知f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上是增函數(shù)，
由f′（x）=（x-2）（x+1）≤0，
知f（x）在[-1，2]上為減函數(shù)．（7分）
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，可列表

x	[-3，-1）	-1	（-1，2]
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

f（x）在[-3，2]上的最小值產(chǎn)生于f（-3）和f（2），
由f（-3）=-

15

2

+d，f（2）=-

10

3

+d，
知f（-3）＜f（2），（9分）
于是f（-3）=-

15

2

+d=

5

2

，
則d=10．（11分）
∴f（x）_max=f（-1）=

67

6

，
即所求函數(shù)f（x）在R上的極大值為

67

6

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的切線方程、單調(diào)區(qū)間和極值，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算繁瑣，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．