Question

已知拋物線M：y²=4x，圓N：（x-1）²+y²=r²（其中r為常數(shù)，r＞0）．過點（1，0）的直線l交圓N于C、D兩點，交拋物線M于A、B兩點，且滿足|AC|=|BD|的直線l只有三條的必要條件是（　�。�

• A、r∈（0，1]
• B、r∈（1，2]
• C、r∈(

  3

  2

  ，4)
• D、r∈[

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：本題中應(yīng)用采用設(shè)出直線，將直線與圓，與拋物線聯(lián)立起來，利用同一直線上的線段的長度比與兩線段端點的縱坐標(biāo)差的比成比例建立方程，再由根系關(guān)系將此方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)m的不等式，解出滿足|AC|=|BD|的直線l只有三條的充要條件，再依據(jù)必要條件的定義比對四個選項找出必要條件

解答：解：x=1與拋物線交于（1，土2），與圓交于（1，土r），滿足題設(shè)．
設(shè)直線l：x=my+1，（1）
代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
△=16（m²+1），
把（1）代入（x-1）²+y²=r²得y²=

r2

1+m2

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
|AC|=|BD|
即y₁-y₃=y₂-y₄，
即y₁-y₂=y₃-y₄，
即4

m2+1

=

2r

m2+1

即r=2（m²+1）＞2，
即r＞2時，l僅有三條．
考查四個選項，只有D中的區(qū)間包含了（2，+∞）
即r∈[

3

2

，+∞)是直線l只有三條的必要條件
故選D．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件解出滿足|AC|=|BD|的直線l只有三條的充要條件，再由必要條件的定義比對四個選項找出它的必要條件來．