Question

【題目】設函數(shù)f（x）=ln（x﹣1）+ax2+x+1，g（x）=（x﹣1）ex+ax2 ， a∈R． （Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）有兩個零點，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明f（x）≤g（x）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（1，+∞）， ． 當a=1時，f'（2）=4a+2=6，f（2）=4a+3=7．
所以函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y﹣7=6（x﹣2）．
即y=6x﹣5
（Ⅱ）函數(shù)g（x）的定義域為R，由已知得g'（x）=x（ex+2a）．
①當a=0時，函數(shù)g（x）=（x﹣1）ex只有一個零點；
②當a＞0，因為ex+2a＞0，
當x∈（﹣∞，0）時，g'（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0．
所以函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增．
又g（0）=﹣1，g（1）=a，
因為x＜0，所以x﹣1＜0，ex＜1，所以ex（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x﹣1
取 ，顯然x0＜0且g（x0）＞0
所以g（0）g（1）＜0，g（x0）g（0）＜0．
由零點存在性定理及函數(shù)的單調性知，函數(shù)有兩個零點．
③當a＜0時，由g'（x）=x（ex+2a）=0，得x=0，或x=ln（﹣2a）．
�。� 當 ，則ln（﹣2a）＞0．
當x變化時，g'（x），g（x）變化情況如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，ln（﹣2a））	ln（﹣2a）	（ln（﹣2a），+∞）
g'（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↗	﹣1	↘		↗

注意到g（0）=﹣1，所以函數(shù)g（x）至多有一個零點，不符合題意．
ⅱ） 當 ，則ln（﹣2a）=0，g（x）在（﹣∞，+∞）單調遞增，函數(shù)g（x）至多有一個零點，不符合題意．
若 ，則ln（﹣2a）≤0．
當x變化時，g'（x），g（x）變化情況如下表：

x	（﹣∞，ln（﹣2a））	ln（﹣2a）	（ln（﹣2a），0）	0	（0，+∞）
g'（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↗		↘	﹣1	↗

注意到當x＜0，a＜0時，g（x）=（x﹣1）ex+ax2＜0，g（0）=﹣1，所以函數(shù)g（x）至多有一個零點，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是（0，+∞）．
（Ⅲ）證明：g（x）﹣f（x）=（x﹣1）ex﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1．
設h（x）=（x﹣1）ex﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，其定義域為（1，+∞），則證明h（x）≥0即可．
因為 ，取 ，則 ，且h'（2）＞0．
又因為 ，所以函數(shù)h'（x）在（1，+∞）上單增．
所以h'（x）=0有唯一的實根x0∈（1，2），且 ．
當1＜x＜x0時，h'（x）＜0；當x＞x0時，h'（x）＞0．
所以函數(shù)h（x）的最小值為h（x0）．
所以 =1+x0﹣x0﹣1=0．
所以f（x）≤g（x）．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（2），f′（2）的值，求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)g（x）的單調性結合函數(shù)零點的個數(shù)確定a的范圍即可；（Ⅲ）設h（x）=（x﹣1）ex﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，其定義域為（1，+∞），只需證明h（x）≥0即可，根據(jù)函數(shù)的單調性求出h（x）的最小值，從而證出結論．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減．