Question

已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）當a=0時，求函數(shù)y=f（x）+1的零點；
（2）若a＞0，求f（x）的單調區(qū)間；
（3）若當x∈[0，1]時，恒有f（x）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分x≥0和x＜0兩種情況解x|x|-1=0即可
（2）分x≥a和x＜a兩種情況去絕對值符號，再在每一段上利用二次函數(shù)的單調性分別求單調區(qū)間
（3）有已知的x的范圍，轉化為關于a的恒成立問題

解答：解：（1）當a=0時，y=f（x）+1=f（x）=x|x|-2+1，
當x≥0?x²=1?x=1或x=-1（負舍），
當x＜0?x²=-1不成立，
故y=f（x）+1的零點為  1
（2）f(x)=x|x-a|-2=

x2-ax-2=(x- a 2 )2-2- a2 4 ，x＞a -x2+ax-2=-(x= a 2 )2-2+ a2 4 ，x≤a.

當a＞0，f（x）單調遞增區(qū)間(-∞，

a

2

)和（a，+∞），單調遞減區(qū)間[

a

2

，a]
（3）（i）當x=0時，顯然f（x）＜0成立；
（ii）當x∈（0，1]時，由f（x）＜0，可得x-

2

x

＜a＜x+

2

x

，
令g(x)=x-

2

x

(x∈(0，1])，h(x)=x+

2

x

(x∈(0，1])，則有[g（x）]_max＜a＜[h（x）]_min．由g（x）單調遞增，可知[g（x）]_miax=g（1）=-1．又h(x)=x+

2

x

=(

2 x

-

x

)2+2(x∈(0，1])是單調減函數(shù)，故[h（x）]_min=h（1）=3，故所求a的取值范圍是（-1，3）．

點評：帶絕對值的函數(shù)找單調區(qū)間和最值時，一般是先去絕對值符號，在每一段上分別求單調區(qū)間，最后合并來作答．