Question

已知函數(shù)f（x）=
（1）當a=2，x∈[2，+∞），時，證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）當a＞0時，若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求此時a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=2時，f（x）==x++2
任取x₁，x₂∈[2，+∞），x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞2
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁++2）-（x₂++2）=（x₁-x₂）•
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù) …
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁++2）-（x₂++2）=（x₁-x₂）•
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立，
故x₁•x₂-a＞0恒成立，
∴故a≤1 …
分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義說明，設(shè)x₁，x₂∈[2，+∞），x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當a＞0時，由函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，可得x₁•x₂-a＞0恒成立，進而得到a的取值范圍
點評：本題主要考查利考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及用函數(shù)的值域解決不等式恒成立的條件，屬于中檔題．