Question

已知奇函數(shù)函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），當(dāng)x＞0時，
（1）求f（-2）的值；
（2）當(dāng)x＜0時，求f（x）的解析式；
（3）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
x＞0時，
∴…
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴…
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
∴當(dāng)x＜0時，…
（3）證明：任意0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=-+1-（-+1）
==．
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
分析：（1）由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，x＞0時，，能求出f（-2）．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，故，再由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，能求出x＜0時，f（x）的解析式．
（3）任意0＜x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）=，能證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)函數(shù)值的求法，考查函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)單調(diào)性的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．