Question

已知sinθ+cosθ=

1

5

，θ∈（0，π）．求值：
（1）tanθ；
（2）sinθ-cosθ；
（3）sin³θ+cos³θ

Answer 1

分析：（方法一）結(jié)合已知sinθ+cosθ=

1

5

，利用同角平方關(guān)系可得sinθcosθ=-

12

25

＜0，則sinθ＞0，cosθ＜0，聯(lián)立方程可求sinθ，cosθ，從而可求
（方法二）（1）同方法一．
（2）先求（sinθ-cosθ）²，結(jié)合（1） 知sinθ＞0，cosθ＜0，從而可求
（3）利用立方差公式可得，（sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（sin²θ+cos²θ-sinθcosθ），代入可求

解答：解：方法一∵sinθ+cosθ=

1

5

，θ∈（0，π），
∴（sinθ+cosθ）²=

1

25

=1+2sinθcosθ，
∴sinθcosθ=-

12

25

＜0．
由根與系數(shù)的關(guān)系知，sinθ，cosθ是方程x²-

1

5

x-

12

25

=0的兩根，
解方程得x₁=

4

5

，x₂=-

3

5

．
∵sinθ＞0，cosθ＞0，
∴sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

．
（1）tanθ=

sinθ

cosθ

=-

4

3

．
（2）sinθ-cosθ=

7

5

．
（3）sin³θ+cos³θ=

37

125

．
方法二（1）同方法一．
（2）（sinθ-cosθ）²=1-2sinθ•cosθ=1-2×(-

12

25

)=

49

25

．
∵sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ-cosθ＞0，
∴sinθ-cosθ=

7

5

．
（3）sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（sin²θ-sinθcosθ+cos²θ）=

1

5

×(1+

12

25

)=

37

125

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的同角平方關(guān)系的運(yùn)用，在利用公式求解時(shí)，重要的是要熟練掌握公式的一些常用的變形技巧．