Question

【題目】某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響．已知某學生選修甲而不選修乙和丙的概率為0.08，選修甲和乙而不選修丙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用ξ表示該學生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積．
（1）記“函數(shù)f（x）=x2+ξx為R上的偶函數(shù)”為事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設該學生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z

依題意得 ，解得

若函數(shù)f（x）=x2+ξx為R上的偶函數(shù)，則ξ=0

當ξ=0時，表示該學生選修三門功課或三門功課都沒選．

∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1﹣x）（1﹣y）（1﹣z）

=0.4×0.5×0.6+（1﹣0.4）（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.24

∴事件A的概率為0.24

（2）解：依題意知ξ的取值為0和2由（1）所求可知

P（ξ=0）=0.24

P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）=0.76

則ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學期望為Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52

【解析】（1）由于學生是否選修哪門課互不影響，利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率解出學生選修甲、乙、丙的概率，由題意得到ξ=0時，表示該學生選修三門功課或三門功課都沒選，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．（2）用ξ表示該學生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積，所以變量的取值是0或2，結(jié)合第一問解出概率，寫出分布列，算出期望．
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．